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運動量写像

数式を使ってなにか書いてみようと思い,ちょうどいいので運動量写像について自分の理解をまとめてみることにした.数学の内容ではあるが,物理屋の言葉で補足するようにする.そのため逆に数学的な厳密さはほとんど考えていない.

基本ベクトル場

 (P,\omega) をシンプレクティック多様体とする.Lie群  G がこれに作用しているとして,そのLie環を  \mathfrak{g} と書く.
 G の元  g は変換  P \times G \ni (x, g) \mapsto g \cdot x をもたらす(空間並進・空間回転など). \mathfrak{g} の元  \xi は無限小変換で,指数写像  \exp で撃ち出すことで  G の元になる.
その微分  \xi_P(x) = \left. \dfrac{d}{dt} \exp(t \xi) \cdot x\right|_{t=0} で定められるベクトル場  \xi_p \xi の基本ベクトル場という.つまり, \xi という無限小変換が生成する  P 上のベクトル場が基本ベクトル場である.

Hamiltonベクトル場

シンプレクティック多様体では, P 上の関数  f に対してHamiltonベクトル場  X_f = \{f, \cdot\} を作ることができる.物理屋にわかりやすいようにPoisson括弧で書いたが,シンプレクティック形式で書けば  \omega(X_f, \cdot) = df となる.
(注:シンプレクティック多様体を含む概念として,Poisson括弧に退化性=核の存在を許すPoisson多様体が存在する.Hamiltonベクトル場をPoisson括弧で定義することで,同じ議論がPoisson多様体に対して適用できる.)

運動量写像

 \xi \in \mathfrak{g} の生成する基本ベクトル場  \xi_p がHamiltonベクトル場 X_f になるような関数  f はもちろん存在するとは限らない.しかし仮に存在したとして,それを  J_\xi と書こう.つまり,無限小変換を生み出す関数=物理量である.この関数に  P の元=系の状態  x を与えることで物理量の値  J_\xi(x) が得られる.
さて,この関数  J_\xi には「無限小」という情報が入ってしまっているが,厳密には物理量として見るには余分だ.それをなくすために,Lie環  \mathfrak{g} とその双対  \mathfrak{g}^* の間のpairing  \langle \cdot, \cdot \rangle を使って  \langle J(x), \xi \rangle = J_\xi(x) となるような  J : P \to \mathfrak{g}^* を構成しよう.この  J を運動量写像と呼ぶ.

例:空間並進と運動量

シンプレクティック多様体に余接束  T^* \mathbb{R}^3 を考える.物理の言葉で言えば  (q_1,q_2,q_3,p_1,p_2,p_3) の属する相空間である.Lie群  G に空間並進を与える( q のみをずらし, p はそのまま)と,基本ベクトル場は  \xi_P(q,p) = \sum_i \xi_i \dfrac{\partial}{\partial q_i} で,対応する関数は  J_\xi(q,p) = \sum_i \xi_i p_i である.すなわち,運動量写像は運動量そのものになっている:  J(q,p) = p,  \langle J(q,p), \xi \rangle = \sum_i p_i \xi_i

他にも空間回転には角運動量が対応する.