Lie-Poisson括弧
昔の記事
yuo1989.hatenadiary.com
を最近編集して，Casimirとかのことを触れたので，ついでにLie-Poisson（リー・ポアソン）括弧のことを触れておこうと思って投稿した．
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を最近編集して，Casimirとかのことを触れたので，ついでにLie-Poisson（リー・ポアソン）括弧のことを触れておこうと思って投稿した．
設定
\(\mathfrak{g}\) をLie環，\(\mathfrak{g}^*\) をその双対Lie環とする．\(\mathfrak{g}\) のLie括弧を \([~,~]\)，\(\mathfrak{g}\) と \(\mathfrak{g}^*\) の pairing を \( \langle~,~\rangle \) とする．
\(\mathfrak{g}^*\) 上の関数 \( f: \mathfrak{g}^* \to \mathbb{R} \)*1に対して，微分1形式 \( df \) を考える．すると，ある点 \( \mu \in \mathfrak{g}^* \) でのその値 \( df|_\mu \) は，その点での \( \mathfrak{g}^* \) の接ベクトルを実数にうつす関数 \( df|_\mu : T_\mu \mathfrak{g}^* \to \mathbb{R} \) となる．
ここで，接ベクトル空間 \( T_\mu \mathfrak{g}^* \) は，\( \mathfrak{g}^* \) 自身と同一視することができる．そのため，実は \( df|_\mu \) は \( \mathfrak{g}^* \to \mathbb{R} \) という，\( \mathfrak{g}^* \) 上の関数と同一視することができる．さらにこれは微分形式であったから線形になる．つまり，\( df|_\mu \) は \( (\mathfrak{g}^*)^* \cong \mathfrak{g} \) の元と同一視できる．その対応物を \( \partial f|_\mu \in \mathfrak{g} \) と書く*2．すると，\( \nu \in \mathfrak{g} \) に対して，\( df|_\mu (\nu) = \langle \nu, \partial f|_\mu \rangle \) となる．
Lie-Poisson括弧と具体例
Lie-Poisson括弧は，上記のような設定のもとで，\(\mathfrak{g}^*\) 上の関数 \( f,g\) に対して \[ \{f,g\}|_\mu = \langle \mu, [\partial f|_\mu, \partial g|_\mu] \rangle \]と定義される．
一番簡単な具体例を考えてみる．3次元ベクトル空間 \( \mathfrak{g} = \mathfrak{g}^* = \mathbb{R}^3 \) を考えると，Lie括弧は \( [\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}] = \boldsymbol{x} \times \boldsymbol{y} \)， pairing はベクトルの内積，\( df \) や \( \partial f \) は \( \nabla f \) となる．そして，Lie-Poisson括弧は\[ \{f,g\}(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{x} \cdot (\nabla f \times \nabla g) \]となる．こうして，先の記事で示した Poisson 括弧が得られる．この例からもわかるように，Lie-Poisson括弧は必ず非正準となり，Casimir元をもつ．
